你也可以花 1.22 美元在 Opus 5.5 上复现 27 年计算机猜想的反证

10 月 26 日到 27 日，两个 AI 巨头接连抛出重磅新闻，OpenAI 发布了官方通告，Anthropic 也发布了自己的信息，他们内部的 AI 模型竟然在 10 月 16 日这一天，独立推翻了二十七年来悬而未决的计算机科学猜想。这个猜想是关于解决含有 $n$ 个开关的逻辑谜题是否存在亚指数时间的捷径，也就是计算机科学中说的指数时间假说，简称 ETH。在 ETH 的假设下，已经有八百多篇关于算法下界的论文。如今两家公司的 AI 在同一天抽掉了这块地基。

而且 Anthropic 开源的 GitHub 文档 末尾直接贴出来了一个只有五句话、97 个英文单词的 prompt。任何人都可以把它复制到自己的 Opus 5.5 里面来复现整个证明。OpenAI 在这个公告中一口气贴出了七百多篇 AI 生成的数学和计算机的手稿，Anthropic 只贴出了一个 47 页的论文，并且透露自己的模型发现这个算法只花了 1,400 万个 token。有开发者在 Hacker News 的评论中吐槽说，这比他平时叫 Claude 做一个监控面板用的 token 还要少。这五句话为什么这么重要？我们平时用 AI 解决技术问题，参与前沿工作能得到什么启发？

怎么在 Claude Opus 5.5 里花 1 块钱复现这次突破？

官方的复现方法简单到像是一个玩笑。只要用公开的 Claude Opus 5.5，把推理强度调到高档，然后把下面这五句话原样贴进去，模型就能自己把整套反证重新推出来。为了方便大家直接复制，我把官方的那五句话完整贴在这里：

The exponential time hypothesis is false!

Let 2^{e(K)·K²λ}·poly(λ) be the time to contract tensor networks on K_K with λ bits per edge and arbitrary node tensors. Then e(9K^16) ≤ 0.9·e(K) + O(1/K). Put the nodes on a grid: the two diagonals of each rectangle form a swap. Per bit, SWAP = I − 2·singlet; grouping by the number of singlets gives λ+1 operators with (row rank)·(column rank) ≤ 12^λ. For each choice of operators, merge each row or each column into one node, whichever is cheaper, and regroup these into K balanced classes.

Prove it.

为了验证这不是营销话术，我真的用 Claude Code 命令行工具试了一把。我把所有工具和联网搜索权限都关了，把上面这五句话丢给了 claude-opus-5-5。模型在后台安静地思考并输出，总共花了 8 分 41 秒、消耗 48,101 个思考 token，最后直接在屏幕上敲出了包含五个小节的完整数学证明。API 账单上只扣了 1.22 美元。

看着屏幕上滚动的公式，有两点需要立刻澄清。第一，模型靠这五句话证出的是可以把耗时指数上的系数压到任意接近零，也就是对任意小的正数 $\delta > 0$ 都存在 $O(2^{\delta n})$ 时间算法；这已经足以从定义上推翻 ETH，省去了原论文后半部分为了把运行时间压得更精确而做的额外优化。第二，这个算法的多项式次数高到离谱，逻辑开关数量要超过一百亿个（$10^{10}$）之后，它的理论耗时才会在数字上小于纯暴力穷举。现有的银行和互联网密码依然安全，亚指数算法也并不代表 $P=NP$。

为什么 47 页的论文能压成这 5 句话？一份看不懂也没关系的解释

看到一美元多就能吐出整篇证明，你肯定好奇这 97 个英文单词到底施了什么魔法。在把这五句话拆开之前，我先跟大家交个底：下面这几段解释哪怕已经尽量用机房拉电线的大白话打比方，如果你平时不怎么碰矩阵和算法，读起来还是会觉得很绕。这非常正常，你只需要扫一眼感受一下里面有多少反直觉的操作，就可以直接跳到下一节。因为为什么普通人连看懂都费劲、更别说自己写出这五句话，正是我们后面要讨论的核心结论。

如果你选择留下来继续看，我们可以从算法设计的角度来理解每句话在做什么。第一道坎是原题本身的规则限制：原来的逻辑题只许开关处在通或者不通两种状态，也就是零或一。但要想用加减法把交叉电线抵消掉，账本中间一定会冒出负数，这就不是合法的逻辑题了。所以第一句话做了一个反直觉的决定：干脆别在原题上死算，先把问题改成在 $K$ 个部门互相拉电话线的完全图网络上、允许账本里记录任意正数和负数的通用计算问题。

第二个挑战是传统方法的局限。如果想要推翻 ETH，一个关键思路是把提示词里面指代指数难度的系数 $e(K)$ 尽可能降到零。但是学界在 2022 年严格证明了传统的基于树形结构一刀刀砍的方法有一个死上限，最多只能把难度系数降到原来的九分之四，不可能降到零。因此第二句和第三句做的决定是，把部门的个数一下放到一个夸张的地步，比如 $9K^{16}$ 个部门，排成一个正方形的二维棋盘（每边有 $3K^8$ 个部门）。这样在棋盘的任意两个行和列会围成一个长方形，里面的交叉电线就变成这个长方形的两条对角线了。每次合并都可以让难度系数打一次九折，持续乘下去就可以无限接近零了。

第三个挑战在于如何在不让分支数量爆炸的前提下消除长方形内的对角交叉线。第四句借助线性代数的矩阵分解，用上下直通减去两倍的左右内部配对（提示词中的 singlet），替代原本斜穿长方形的对角交叉线。长方形四个角各传一个比特，横竖各有四种状态、合起来原本有十六种状态；这一下让横竖两个方向的通信复杂度从十六降到了十二，每条线传 $\lambda$ 个比特，乘上 $\lambda$ 次方后就从十六的 $\lambda$ 次方降到 $12^\lambda$，反映到指数难度系数上相当于打了八九折（约九折不到，比前面说的九折更省）。但每个比特都在直通和配对两项里二选一，直接乘开会冒出二的 $\lambda$ 次方项，瞬间吃光省下的带宽；因此第四句强调必须按左右内部配对的数量合并打包，把指数级的分支压成 $\lambda+1$ 个包裹。

第四个挑战出现在合并之后的收尾阶段。棋盘按行或按列选便宜的一端合并成一条线以后，各行之间的电线有粗有细。如果直接按最粗的电线进入下一轮，最粗的那根短板就会把前面打九折省下的收益全部吃光。因此第五句话要求像摇号分班一样，把合并后的节点重新打散装进 $K$ 个平衡的大桶里，让粗线和细线相互平均。对照 47 页完整论文 就会发现，论文里花十几页讲的教科书套路，比如怎么把普通公式预处理成稀疏公式、怎么用概率不等式证明分桶一定均匀、以及附录里为了刷极致上界堆砌的四套重型工具，在五句话里半个字都没提。因为在我们的实测里，模型凭着预训练基本功，在七分多钟里自己就把这些顺理成章的步骤全部补齐了。

我们写不出这 5 句话，但怎样在自己的本行写出这样的提示词？

不论你是看完上一节还是直接翻到这儿，都会有一个疑问：这五句话确实厉害，可我又不是理论计算机专家，这跟我平时用 AI 有什么关系？答案很实在，在理论计算机领域你是个外行，完全写不出这 97 个词；但在你自己的领域，不论是写后端架构、调分布式系统、做量化策略还是设计实验，你就是那个懂行的人。这五句话展示了在高推理模型面前，领域专家的用法已经彻底改变，我们可以直接抄走三条实操经验。

第一条经验是别当保姆式陪驾，只给模型画反直觉急转弯。我们用老模型时，常写「第一步分析需求，第二步写接口，请一步步思考」。但面对能自己思考八分钟的高推理模型，凡是顺着教材和常识能推出来的东西都是高速公路，多写一个字都是浪费。专家唯一需要写进提示词的，是那些表面看起来像在犯错、实则是唯一出路的拐点，就像第一句里故意引入负数、第二句里先把规模放大到 $9K^{16}$ 倍一样。如果不把这些反直觉路标点破，模型的启发式搜索会以为走错了路，直接把正确方向剪枝扔掉。

第二条经验是不要拿伺候死板软件的底层细节去喂大模型，而应该直接给高层概念。在 Anthropic 的论文中，我注意到一个有趣的现象：这五句话提示词中所使用的证明方法与论文正文中所描述的方法不同，而且更加简单。为什么要在同一篇论文中使用两种不同的方法呢？这是因为正文主要是为了满足一种叫做 Lean 4 的自动验证软件的需求，类似于代码编译器，它会逐行检查数学推理是否正确。然而，这种死板的软件没有现成的高等数学工具包，因此作者在正文中不得不采用一些低级技巧，例如用类似乘法表的表格列出加法和减法的正负号，以尽可能降低难度。在论文最后一页的附录中，作者指出，如果我们面对的是人或者 AI，就不需要重复这些表格，而只需要使用大学线性代数中的一个概念（矩阵的秩）就可以轻松计算出更好的结果。我们在编写代码时通常习惯满足死板的机器，因此很容易将这些繁琐的低级步骤加入提示词中。然而，AI 已经学习了大量的教科书和开源代码库，因此跟 AI 交流时，只需要使用高层的设计模式或定理名称（如使用一致性哈希或动态规划），就能获得比繁琐的低级计算更好的结果。

第三条经验是专门提醒模型防止数量爆炸和局部拖累这两个最常见的问题。哪怕提示词压缩到 97 个词，作者仍然用了整整两句话来提醒两件小事：把相同的项合并以避免分支数指数爆炸，以及把最终结果重新洗牌以避免一根粗线拖累全局。为什么专门提醒这两句？因为大模型做方案时喜欢算平均账，觉得整体打折了就好，常常忘记只要中间一步不合并，就会指数爆炸，或者某个最慢的环节就把前面省的时间全耗光。我们平时让 AI 设计系统架构或复杂方案，主干逻辑让它自己想，但一定要在提示词里专门加一句话，逼它检查最差情况的瓶颈和重复分支。

生成证明只需 1 块钱，普通工程师和「二把刀科学家」怎么参与科研？

最先进的 AI 模型只花一千四百万个 token 就推翻了悬置二十七年的计算机猜想，普通人花 1.22 美元就能在 Opus 5.5 上复现。既然如此，除了极少数能写出那五句话的专家，其他科研人员和工程师难道都要失业了？但实际上，正因为生成证明变得如此廉价，OpenAI 宣布每道题平均只用 3 小时 ChatGPT Pro 算力，一次性往代码库里放出了 721 篇手稿，甚至将它们作为原始研究数据，并宣布放弃学术署名权。这导致整个科研流水线在另外三个环节出现了巨大的人力缺口，为那些懂工程工具的跨界研究者创造了机会。

第一个新工种是帮 AI 审题抓缩水。Anthropic 的整套 Lean 4 证明在本地电脑上只要八分钟就能过机检，保证推导过程零失误。

但机器验证有个致命盲区：它只管检查答题过程能不能推出卷头那行结论，却不管卷头那 180 行题目代码有没有把原题抄歪。剑桥大学团队近期提交的论文刚在数学上证明自动检查题目有没有抄歪比停机问题还难，OpenAI 也在发布第二天就因为正负号错误紧急撤回了三篇论文。加州一个在工业界干了七年的数据科学家 Tejpal Virk 用行动证明普通工程师能干这件事。OpenAI 那七百多篇手稿按课题分成了三百多个问题族，其中 242 个附带了验证代码；他在周末用大家平时写代码的 Claude Code，两天内把这 242 个问题族全筛了一遍，建起公开审计看板，结果抓出 93 个问题族在翻译成代码时缩水了：比如有一道题，论文标题宣称把某个六维空间里的结构上限压到了最多三个，但代码里实际只证了更容易的最多五个；另一道物理题，标题宣称解决了正常温度下的物质状态，代码里却只证了绝对零度下的特例。

第二个新工种是在 AI 的论文矿山上淘零件。肯尼索州立大学学者 Ying Xie 发表了拆取数学新工具的预印本，他不去纠结千禧年大奖级别的标题对不对，直接像去拆车厂淘零件一样，从 38 个问题族中挑出 AI 在证明中途顺手捏造的新引理和不等式，拿其中一个小引理解决了自己的电路下界问题。第三个新工种是加入开源社区工作组。ETH 的两位原作者 Impagliazzo、Paturi 和麻省理工学院的 Ryan Williams 教授在三位学者联名发布的公开信里贴出了志愿者报名表和共享云盘，号召社区志愿者一起认领章节、把机器天书翻译成白话讲义，并清点下游那 800 多篇算法论文哪些可以靠其他假设抢救回来。顺着教科书往下推的常规计算已经彻底贬值，但靠领域功底在起点写出反直觉路标、靠工程工具在终点替人类审题和淘金，才刚刚开始。